Công thức lượng giác

by **Profession_jamy** Thu May 05, 2011 8:55 pm

Định nghĩa

Xem thêm các hàm lượng giác
$Công thức lượng giác 2c364ad9484a8aa98d84cd066c015032$
$Công thức lượng giác F7555a262cbf5a97a810d4ca9ec676d2$
[sửa] Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:
Tuần hoàn (knguyên)Đối xứngTịnh tiến

$Công thức lượng giác Ade60bebb32ce18853dde18bea8788c2$	$Công thức lượng giác E23fa842b23102e20a11a61a7a1b962e$	$Công thức lượng giác 116ebb88d0e49cde0ab76ae24a129788$
$Công thức lượng giác C4b61d5490af84f1b096b5a647f4b132$	$Công thức lượng giác 5012904c75a6f2c44aaf1d0308f63fda$	$Công thức lượng giác 5cb1fa1fd052dabe72d3be25882891d4$
$Công thức lượng giác 8179dd0a71db0793f02c4d481486d467$	$Công thức lượng giác 127650e424ff1c0a55750cfa81a70e61$	$Công thức lượng giác Ef99de492a256c296e25d554b06d4928$
	$Công thức lượng giác D92ac069c6b11dcc6328f638c1c5a613$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: $Công thức lượng giác B23b076defb7225db5ddd5682263d88c$
với
$Công thức lượng giác 3419edec72040aa60e2f4a06e21b6ff7$
[sửa] Đẳng thức Pytago

Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.
$Công thức lượng giác 21010ba21c3a658c1bebe44ec023322e$
$Công thức lượng giác 80b2e731371b16456f9896a3acc6486a$ $Công thức lượng giác 3720f8d94ba670f815511b964e8ca39b$
Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
[sửa] Tổng và hiệu của góc

Xem thêm Định lý Ptolemaios
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.
$Công thức lượng giác 96188065d4eefcdb83c5b7365f96eaa4$
$Công thức lượng giác 664f8e8310a75a6d41e5e856d9e68c2d$
$Công thức lượng giác 81cacd83df440beb2ec3c30095e93308$
$Công thức lượng giác 6e2171e2a92b1f155bbd7b35e753e927$

$Công thức lượng giác Ef6f1f9a46e8a4b489001170b4405d66$
$Công thức lượng giác 3fb33c3f46f51a925dde94cdac6edea8$
với
$Công thức lượng giác 9995f44db08266b51d8100aa3eb0cf05$
và
$Công thức lượng giác D2ab95da7d63797b6ec2381bb1fc2521$
[sửa] Công thức góc bội

[sửa] Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.
$Công thức lượng giác Fe6cc975b1dfa6a6eb138084efbbc27c$
$Công thức lượng giác D47d2157e706c5f9babc8395f47f0553$
$Công thức lượng giác 7f643709c0d69e839822f3749fc95083$
$Công thức lượng giác 3375914442749fa34a2d9887465c1b17$

Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.
[sửa] Tổng quát

Nếu T_n là đa thức Chebyshev bậc n thì
$Công thức lượng giác 548fee3f4cb4d690c6c5d450816f2e0e$
công thức de Moivre:
$Công thức lượng giác 6db32d87221c68f76ea19fdb08986295$
Hàm hạt nhân Dirichlet D_n(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:
$Công thức lượng giác C4ff31420af322ee9bde2d89e3dfd076$
$Công thức lượng giác 332d9bc9a41e7660cf017678cf3c0c8b$
Hay theo công thức hồi quy:
sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x)cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x)
[sửa] Bội ba

[sửa] Cơ bản

Ví dụ của trường hợp n = 3:
$Công thức lượng giác 39f610c9de2b9318eba318cb1d280bb1$ $Công thức lượng giác D07361545e33d44445614a271d23b74b$
[sửa] Nâng cao

$Công thức lượng giác B0d04939ccad2a09c498dcc0b2f41a6f$
$Công thức lượng giác F7e10a71f3986d0eca0e23d327dc819e$
$Công thức lượng giác C73a103dc39f46fce06f8dbe4a393a77$
[sửa] Công thức hạ bậc

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos²(x) và sin²(x), thu được:
$Công thức lượng giác 8bbde03904651d44e07ab31fcab6f347$
$Công thức lượng giác 907b46531052621b3506c52611b08040$
$Công thức lượng giác B1f41f40bc24aadf72d79111a9dd67e1$
$Công thức lượng giác 4c2c449379255a8b71c354c3f857d7e1$
$Công thức lượng giác 484d6cae87865dad7b188fb25b10bd76$
$Công thức lượng giác 37b0ba6be2c6e6a85e34f3b31a854885$
$Công thức lượng giác Fee8a736aedce0289974d815f0e66c7c$
$Công thức lượng giác 75820059bea2020f20bea445dda41b8c$
[sửa] Công thức góc chia đôi

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:
$Công thức lượng giác 6fb0bcb5dae69c63766b1bcbc287d643$
$Công thức lượng giác Cd425bbc22429e4c520b81abe6cb4c6e$
Dẫn đến:
$Công thức lượng giác 8c9b1adbd2afab0ffb4cdc1c475326f0$
Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
$Công thức lượng giác 2982e078e21bc8ad1afb19480a1e7485$

$Công thức lượng giác 28162ee4817001cc3f4045cf90cee949$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:
$Công thức lượng giác 462c5f8b96c299629047cc6e59b83faa$

$Công thức lượng giác Ac77560f4f55a15eaa139b5bb60037da$

Suy ra:
$Công thức lượng giác 7fb090113e3c99b6c4cbd80972979255$
Nếu
$Công thức lượng giác 63688bbdcf691370a622c90fa5ff9483$
thì:

$Công thức lượng giác B2a63ea30b3ba68ea07b4b1076c1639d$

and

$Công thức lượng giác C7c46de9e797429e996c5f44949d5d46$

and

$Công thức lượng giác C9fe63bbb81eb7e1437cfd3ea989ae5d$

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng.
[sửa] Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.
$Công thức lượng giác 2fa88557ea1c885d87e8578e0ad00afa$
$Công thức lượng giác 8818ace904626998a66cadf0f0a7396f$
$Công thức lượng giác 0493b99dd41e17a3e48753bc2603a3df$
$Công thức lượng giác C5ac21e78c0a29ba2e35981d7a60b897$
[sửa] Biển tổng thành tích

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:
$Công thức lượng giác F1febb04037fe1c4436c42aa379455f1$
$Công thức lượng giác D51e35bc031c4ed60bff6b3f2d786075$
$Công thức lượng giác 430e4d24e25784069ab245a32a7f9561$
$Công thức lượng giác A5bb9a21fe6ccf7e3c4a3e2ac61ebea2$
[sửa] Hàm lượng giác ngược

$Công thức lượng giác 796942e097e9d0a936266c595a38fa5c$
$Công thức lượng giác A1b10bcda8b28915449a6dc6c1182794$
$Công thức lượng giác A638ef05ae36ae6d611e6fd9b5daccf4$ $Công thức lượng giác 76294f437311109123bfa1d0860caa92$
$Công thức lượng giác 2a7c126a2b3a9985404437ce98ed4b16$
$Công thức lượng giác 024f07c41258db0a2543af60a63052e5$
$Công thức lượng giác 9e14674cdfcb30b9f6d22db64648dd6b$
$Công thức lượng giác A0cf40d0debad263e73a0746410f15a6$
$Công thức lượng giác F4f2229e05a4a5d1be57f7474a3687a2$
$Công thức lượng giác 4a6cd5581c3dbade0ee839830427e53f$
$Công thức lượng giác 141083a92d59c227708a9e3a370a21c8$
[sửa] Dạng số phức

$Công thức lượng giác 1cead3cbd550b9df2bd2e4161cdcc456$ $Công thức lượng giác 74f2eef8361852cc3492b861775301e6$
với $Công thức lượng giác B62acd5a9b3c158d59e269b00afdd108$
[sửa] Tích vô hạn

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:
$Công thức lượng giác Cba62fd5fe792f62769fb29774b904a6$
$Công thức lượng giác B24dad09cdcd95fcdb2965f1fe9aeab2$
$Công thức lượng giác A35a32c16cf562f54325d9769d187f9d$
$Công thức lượng giác 134ee7cd0c54fcab75f0cd40bb12fe18$
$Công thức lượng giác 812c7f4f4227f5b64261b5069e9a1c36$
[sửa] Đẳng thức số

[sửa] Cơ bản

Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:
$Công thức lượng giác 0337e787474105068755749c7b97fde9$
Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:
$Công thức lượng giác 85985a5d942c5c769c8edaf37a2074b3$
Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:
$Công thức lượng giác 92c553faa0d16bba8bb116e0bd2acbeb$ .
Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:
$Công thức lượng giác 3a018df2296fcf7ca3da42bf33e59794$
$Công thức lượng giác 7df58221607972c769cb7c3ee63c6cb0$

Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:
$Công thức lượng giác F15dc3d39c473c4bd718e3a98145da0d$
hay dùng công thức Euler:
$Công thức lượng giác C7a20c173fa773424798d562ad1f8cfa$
Một số đẳng thức khác:
$Công thức lượng giác E00c487868dd5d98d157005bd5afb499$
$Công thức lượng giác 74a2b792de1a8beddc84ae462bd3ca83$
$Công thức lượng giác 1006004d93c53a33bf1e96e19fff4219$
Dùng tỷ lệ vàng φ:
$Công thức lượng giác 3da7bbe7c0550734938c4cc644568339$
$Công thức lượng giác 70096c23e5717b329e9eb423e0847528$
[sửa] Nâng cao

$Công thức lượng giác Ff48e13e009bb8841455961d0ab41c5c$
$Công thức lượng giác 180e3bfdcfb4bce5c8f2042c2476e837$
$Công thức lượng giác 26204ca59d1297d77451311d398dd3d2$
$Công thức lượng giác 902b66bbf0d0bd6092b0c48d79ba4d9e$
$Công thức lượng giác Eef08e40bfb4dbee1be9bb64d0df935d$
$Công thức lượng giác Af6aa4e753e7b7a610f2d48d3c797b7a$
$Công thức lượng giác F3cd0bfd8d38db597ce14ae60b1c3aac$
$Công thức lượng giác C00e11fe9fa6fc4bc22de035b4490415$
$Công thức lượng giác D39ccf19a529e9fc4d2aeae42b7329a4$
$Công thức lượng giác B4091879f15a14035aa473040e24af0c$
$Công thức lượng giác C6abeeab6355d420dc0891f2d127fef6$
$Công thức lượng giác 04655d06e928303d4ae9663b8fb4fca4$
$Công thức lượng giác 8f2098c475a6dbcba4df04000ca68d1b$
$Công thức lượng giác 03c9f45a3695bc9a2c72d218603f97dd$
$Công thức lượng giác 63621b67be1cdfb2d338c461651dad80$
$Công thức lượng giác 27866b3c4b5a0f7627fb94001a2ff7d0$

[sửa] Giải tích

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian
$Công thức lượng giác 5351003ef9df42f27e1b95a0b26b8c5e$
$Công thức lượng giác Ca55e46b586082ca0b239ac8c7a2aa5b$
$Công thức lượng giác 490c4c17d75121b56228f6ae21c4887a$
Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:
$Công thức lượng giác 970f2e9d880efe0ab2c0a89d7439ad2a$
$Công thức lượng giác 7bc64611eea71fd27eecd0954247340f$
$Công thức lượng giác C24e2f8f7b84aaae7838cfe3e2c64d31$
$Công thức lượng giác 6d49c63b8f034c156c72da5ef0bb8516$
$Công thức lượng giác Aaf9f558401ff82809ca2ce1bc858d49$
$Công thức lượng giác A3689695d2574f8261c0f58391fb0966$
$Công thức lượng giác 310ab7dc5458cfc2a44e4cafbd32634f$
Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.
[sửa] Hàm lượng giác nghịch đảo

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới
hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 < y < π/2	y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 < y < π	y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hay cos⁻¹ thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.
Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
$Công thức lượng giác A61277fc6b4588a6170ff471dcfd1776$
$Công thức lượng giác Bf915a1e8ec7470e4c7237e132f0dd9d$
$Công thức lượng giác 4287f3e436c858d819956fc481fa83d0$
$Công thức lượng giác 0eb56ebf1439b0de88e74692388ce4ab$
$Công thức lượng giác 313d34b156ac8a97ab2f16c87b484ce5$
$Công thức lượng giác 47a485325cc40110737ebafbe577e5a5$
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.
$Công thức lượng giác D28acd1892a51a66102b823716fd7223$ $Công thức lượng giác 7208a6b2ae5f0ec234ae8bfb0e212123$ $Công thức lượng giác 467f20ba42d211ab7c9890a0e5acce71$ $Công thức lượng giác Ae6556447609a46ac496efdc694db242$ $Công thức lượng giác A010ef8985fa66d5bcd65c0288103d5b$ $Công thức lượng giác 965e621f9e090302163d16d42e7edd0b$
Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:
$Công thức lượng giác 02fac3de76219acd35df5f109ccbe889$ $Công thức lượng giác 716737360fc5f3f47482bd340d6d347e$ $Công thức lượng giác 8898199f59686fbfe51ece3eb7bb802d$
[sửa] Một số đẳng thức

Xem thêm Đẳng thức lượng giácXem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược
$Công thức lượng giác 194156e86671f2f789d562da6b4c7532$
$Công thức lượng giác C44b6467caf305f58dd9a53e37118c87$
$Công thức lượng giác 68e4808faacce2d50582637866fa792b$
$Công thức lượng giác Ce1466d70ce8d29eb0a02493b2e47192$
$Công thức lượng giác 21c16251aecf84a269d82deebff5f9bb$
$Công thức lượng giác F4a8b8d8a8d3b6754eab5678d4c3119f$
$Công thức lượng giác 519e97dc7ed5ec600c355e80d917b0b2$
$Công thức lượng giác 4821877fd51847d85b117ebedbf5ea22$
$Công thức lượng giác Af05140459b6fcd83268aabba974d744$
$Công thức lượng giác 2595c7df12079ab0b16295ab4992aee9$
$Công thức lượng giác B30a069e6effa0d0958b044d25a05582$
$Công thức lượng giác 48390701ebe756234d97a39d6f706e6a$